Als hij 5 jaar is, verhuizen zijn ouders naar de Herengracht in Den Haag. Als hij 14 is gaat hij filosofie studeren in Leiden en vijf jaar later begint hij daar met zijn rechtenstudie. In Leiden kent hij de staatsgezinde gebroeders Cornelis en Johan de Witt. Johan volgt de vader van Adriaen na diens overlijden op in de Staten.
In 1642 promoveert Adriaen Pauw, en wordt hij als advocaat beëdigd voor het Hof van Holland.
In 1644 trouwt hij met zijn nicht Cornelia Pauw (1626-1692), dochter van zijn grootvader Reinier Adriaensz Pauw. Van hun zes kinderen wordt slechts één dochter volwassen.
In 1652 wordt hij benoemd tot raadsheer in het Hof van Holland. In 1670 wordt hij president van het Hof. Zo blijft hij meer dan 40 jaren aan het Hof verbonden.
Kort nadat hij president wordt, komt de moeilijkste zaak van zijn loopbaan voor, de zaak van de aanklacht van Willem Tichelaar tegen Cornelis de Witt. Cornelis wordt gevangen genomen en in de Gevangenpoort opgesloten. Hij wordt op 20 augustus 1672 vrijgesproken, maar uit al zijn ambten ontslagen wegens leugens tijdens het verhoor.
Als Johan de Witt zijn broer bij de Gevangenpoort komt ophalen, slepen enkele schutters de gebroeders naar buiten, waar ze vermoord worden.