Hij was een zowel geliefd als machtig burgemeester van Amsterdam. In 1707 was hij zijn vader opgevolgd in de vroedschap. Hij was tussen 1709 - 1711 lid van de Raad van State, voor veel Amsterdamse burgemeesters een soort ballingschap. Hij was tussen 1712 - 1714 afgevaardigde in het gewest en kreeg voor het eerste te maken met Simon van Slingelandt. In 1716 werd hij benoemd tot bewindhebber van de Oostindische Compagnie en zoals gewoon, aangesteld voor de rest van zijn leven.
Lieve Geelvinck was de helft van een tweeling: van zijn tweelingbroer is alleen de naam bekend. Zijn moeder was Anna van Loon; zijn vader Joan Geelvinck (1644-1707) en sinds 1694 lid van de vroedschap. Zijn grootvader was burgemeester Cornelis Geelvinck. Albert Geelvinck, zijn oom, was directeur van de Sociëteit van Suriname. De Geelvincken waren bestuurlijke en financiële specialisten. Lieve Geelvinck werd voor de eerste maal burgemeester van Amsterdam in 1720, een "noodlottig" jaar. Door een geslepen huwelijkspolitiek speelde de familie Geelvinck jarenlang een belangrijke rol de raad.
Lieve Geelvinck trouwde in 1699 met Agatha Theodora van Bambeeck, die in 1713 overleed. Hij sloot in 1730 een tweede huwelijk met Anna de Haze, toentertijd de rijkste vrouw in Amsterdam. Hij verhuisde van Herengracht 504 en trok in bij zijn vrouw op Herengracht 520, die dat pand opnieuw had laten inrichten. De echtelieden kenden elkaar, want zijn zoon Nicolaes was in het voorafgaande jaar getrouwd met haar dochter. Zijn kleinkind was Agatha Theodora Geelvinck, tevens haar kleinkind, uit een eerder huwelijk. Via Anna de Haze verkreeg hij de titel heer van Stabroek en van de beide Loosdrechten. Op 13 maart 1728 werd Leimuiden tezamen met Vriezekoop voor 42.000 gulden gekocht door Mr. Lieve Geelvinck, ten behoeve van de stad.
Lieve Geelvinck was staatsgezind en regelde in 1734 een uitermate koele ontvangst voor Willem IV van Oranje-Nassau en Anna van Hannover. De regenten in de Pruikentijd staan bekend als elkaar de bal toespelend: in 1735 werd zijn schoonzoon Dirk Trip als burgemeester benoemd, daarbij vele tientallen schepenen en oud-schepenen passerend. Burgemeesters hadden bij toerbeurt baantjes te verdelen. In 1738 verstrekte hij een "studiebeurs" aan zijn kleinzoon , een goedbetaald baantje als postmeester. In het jaar 1743 stierven behalve Lieve Geelvinck nog vier burgemeesters. De onderlinge verhouding in de burgemeesterskamer zou daardoor sterk veranderen.
Lieve Geelvinck fungeerde regelmatig als privébankier en werd in de Nieuwe Kerk begraven onder een nooyt gehoorde toevloet van menschen en is opgevolgd door zijn zoon Nicolaes Geelvinck.